Simulation平板平面应力问题分析

0.1 问题概述

矩形截面简支薄钢板在均布荷载和自重作用下的力学响应。钢板两端简支，上部承受均布荷载，同时考虑钢材自重。通过有限元方法分析其位移和应力分布，研究网格尺寸和单元类型对计算精度的影响。

0.2 参数确定

1. 手算分析

1.1 结构离散与网格划分

1.1.1 有限元模型

采用3结点三角形单元将钢板划分为4个单元，共6个结点。网格划分如图2所示：在跨度中点处垂直划分，形成两个矩形，每个矩形沿对角线划分为两个三角形。

1.1.2 结点坐标计算

1.1.3 单元连接关系

按逆时针顺序编号，确保单元面积为正：单元面积计算：

单元面积计算：

1.2 单元刚度矩阵推导

1.2.1 弹性矩阵 D

对于平面应力问题：

1.2.2 几何矩阵B计算

对于3结点三角形单元：

以单元Ⅰ（结点按逆时针排列i=1,j=4,k=2）为例，计算系数：

单元Ⅰ几何矩阵

1.2.3 单元刚度矩阵计算

，其中i为单元序号i=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ

t为平面问题的厚度。由上式可知，这时B 矩阵为常系数矩阵，因此上式可以写成

1.3 整体刚度矩阵

整体刚度矩阵K是一个12×12的对称稀疏矩阵，由四个单元刚度矩阵组装而成：

1.4 单元载荷阵列

单元Ⅰ（结点1,4,2）

自重 + 均布荷载：

按局部自由度顺序（结点1,4,2）：[F_x1, F_y1, F_x4, F_y4, F_x2, F_y2]

单元Ⅱ（结点1,3,4）

只有自重：

局部顺序（结点1,3,4）：[F_x1, F_y1, F_x3, F_y3, F_x4, F_y4]

单元Ⅲ（结点3,6,4）

自重 + 均布荷载：

局部顺序（结点3,6,4）：[F_x3, F_y3, F_x6, F_y6, F_x4, F_y4]

单元Ⅳ（结点3,5,6）

只有自重：

局部顺序（结点3,5,6）：[F_x3, F_y3, F_x5, F_y5, F_x6, F_y6]

1.5 整体载荷阵列组装

 整体荷载列阵组装：整体荷载列阵 P 是12×1向量：P=[Px1,Py1,Px2,Py2,Px3,Py3,Px4,Py4,Px5,Py5,Px6,Py6]^T

结点荷载汇总

结点1（参与单元Ⅰ,Ⅱ）：来自单元Ⅰ：F_x1=0, F_y1=2.479×10⁵

来自单元Ⅱ：F_x1=0, F_y1=-4166.67

结点2（参与单元Ⅰ）：

来自单元Ⅰ：F_x2=0, F_y2=-4166.67

结点3（参与单元Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ）：

来自单元Ⅱ：F_x3=0, F_y3=-4166.67

来自单元Ⅲ：F_x3=0, F_y3=-4166.67

来自单元Ⅳ：F_x3=0, F_y3=-4166.67

结点4（参与单元Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ）：

来自单元Ⅰ：F_x4=0, F_y4=2.479×10⁵

来自单元Ⅱ：F_x4=0, F_y4=-4166.67

来自单元Ⅲ：F_x4=0, F_y4=2.479×10⁵

结点5（参与单元Ⅳ）：

来自单元Ⅳ：F_x5=0, F_y5=-4166.67

结点6（参与单元Ⅲ,Ⅳ）：

来自单元Ⅲ：F_x6=0, F_y6=2.479×10⁵

来自单元Ⅳ：F_x6=0, F_y6=-4166.67

1.6结构刚度方程

在线弹性范围内，整体结构刚度方程满足胡克定律：

1.7 边界条件处理与求解

对于简支梁：

左端（结点1）：固定铰支座

竖向位移为零：v1=0；水平位移为零；u1=0可以转动

右端（结点5）：滚动铰支座

竖向位移为零：v5=0可以水平移动；可以转动

整体刚度矩阵中需要划去第1, 2, 10行和列。

得到缩减的9×9刚度方程：

2. Simulation分析

参数参照上节，网格划分按照上节方式划分，节点与上节不同，采用草稿品质网格计算，网格大小4507.5mm，节点⑤固定xy的位移，节点③固定y位移，结果如下：

3. 网格尺寸研究

1/2网格结果如下：

1/4网格结果如下：

1/8网格结果如下：

1/16网格结果如下：

跨中底部正应力理论值：σ_"理论" =(3(q+γh) L^2)/(4h^2 )≈22.04" MPa"

对于草稿品质网格单元，网格尺寸对计算精度影响显著。当网格尺寸减小至原尺寸的 1/8（256单元）时，跨中底部正应力 σ_x 误差降至3.8%，满足工程精度要求。

继续细化网格至 1/16（1024单元）时，应力值略超理论解.

4. 高质量网格尺寸研究

4.1 高品质网格原尺寸网格

4.2 高品质网格1/2网格

4.3 高品质网格1/4网格

4.4 高品质网格1/8网格

4.5 高品质网格1/16网格

结论：

位移结果对比：高品质网格给出的位移普遍大于草稿品质网格（如同尺寸下位移值更大），说明高品质网格刚度较低，更接近真实变形行为。

高品质网格在粗网格下具有明显优势，能更准确地预测应力和位移，收敛更快。

草稿品质网格需要更密的网格才能达到相近精度，计算效率较低。